Pražský rodák vystudoval Střední průmyslovou školu elektrotechnickou v pražské Ječné ulici a poté herectví na DAMU, které absolvoval v roce 1967 v inscenaci Filippovy hry Maria, Josef a zlodějíček. Během studií účinkoval v Divadle za branou v jeho prvních inscenacích – Topolově Kočce na kolejích a Ghelderodových Maškarách z Ostende.
Po ukončení studií Luděk Nešleha nastoupil do angažmá v Hradci Králové, kde hrál mj. Puka v Shakespearově Snu noci svatojánské nebo titulní roli ve starofrancouzské frašce Mistr Petr Pleticha. V roce 1972 nastoupil v Divadle Antonína Dvořáka v Příbrami, kde hrál mj. Vilíka Roškota ve Šrámkově Měsíci nad řekou, Vocilku v Tylově Strakonickém dudákovi, Wurma v Schillerových Úkladech a lásce, Trofimova v Čechovově Višňovém sadu či lorda Burleigha v Schillerově Marii Stuartovně. V roce 1981 přešel do Městského divadla v Kolíně, kde účinkoval mj. v roli Patrona Fortunata v Goldoniho Poprasku na laguně, Kuligina v Čechovových Třech sestrách, hraběte Almavivy v Beaumarchaisově Figarově svatbě, Tuláčka v pohádce Marie Kubátové Jak přišla basa do nebe, Matěje Kuřete v Šotolově a Potužilově Kuřeti na rožni, Koniklece v Shakespearově Mnoho povyku pro nic nebo dvojroli Dromia efeského a Dromia syrakuského v Shakespearově Komedii plné omylů. V roce 1992 Luděk Nešleha odešel na volnou nohu, ale trvale spolupracoval s příbramským i hradeckým divadlem a šest let byl také pravidelným hostem v kladenském divadle.
V roce 1997 se stal stálým členem Divadla pod Palmovkou, kde ztvárnil řadu rolí: mj. Helicona v Camusově Caligulovi, Antonia v Beaumarchaisově Figarově svatbě, ředitele Kirkebyho v Simonově, Bacharachově a Davidově muzikálu Sliby chyby a zatím naposledy De Quadru v Boltově Ať žije královna!.
Hojně také účinkoval v rozhlase, televizi a filmu. Za všechno jmenujme filmy Každý mladý muž, Po stopách krve, Jak se plaší Smrtihlav nebo Píseň nemilovaného či televizní seriály Úsměvy mistrů (dramatizace povídek Jaromíra Johna), Přítelkyně z domu smutku a televizní filmy Trojlístek, Dívka a smrt či Klauni a vlastenci.
Luděk Nešleha také namluvil několik knih do Knihovny pro nevidomé K. E. Macana.