Narodil se v Plzni, kde také vystudoval gymnázium. Poté studoval herectví na JAMU v Brně, zakončené absolventskou rolí Othella ve stejnojmenné Shakespearově tragédii.
První angažmá získal René Přibil v roce 1969 v Plzni, kde mj. ztvárnil role Romea v Shakespearově Romeovi a Julii, Petruccia v Shakespearově Zkrocení zlé ženy, Goga v Laholových Skvrnách na slunci či  Dona v Gersheho Motýlech. Poté odešel na tři roky do Západočeského divadla v Chebu, kde hrál mj. Eilifa v Brechtově Matce Kuráži, Kristiána v Rostandově Cyranovi z Bergeracu, Edmunda v Shakespearově Králi Learovi či Arnulfa v Molièrově Škole pro ženy. V roce 1976 odešel René Přibil do Jihočeského divadla v Českých Budějovicích, kde mj. účinkoval v roli Hamleta v Shakespearově Hamletovi, Zajíčka v Jiráskově Lucerně či Radůze v Zeyerově Radůzovi a Mahuleně. V roce 1981 se vrátil do Plzně, kde hrál např. Salieriho v Shafferově Amadeovi, Ženicha v Lorcově Krvavé svatbě či Rodriga v Shakespearově Othellovi. V roce 1988 René Přibil odešel do pražského Národního divadla, kde hrál mj. jednoho z manželů v Mittererově Návštěvní době, Richarda v Goldmanově Lvu v zimě, Otce v Kamenném hostu Tirsa de Moliny nebo Bardolfa v Shakespearově Jindřichu IV. i Jindřichu VI. V roce 1991 se René Přibil vrátil potřetí do Plzně, kde hrál mj. Hamilkara v Jamiaqueově hře Pan Hamilkar či Malvolia v Shakespearově Večeru tříkrálovém.
V roce 1996 odešel René Přibil do Divadla pod Palmovkou, kde hrál a hraje řadu výrazných rolí – za všechny jmenujme Mackie Messera v Brechtově Krejcarové opeře, Le Breta v Rostandově Cyranovi z Bergeracu, Ezru Mannona v O'Neillově dramatu Smutek sluší Elektře, ředitele Sheldraka v Simonově, Bacharachově a Davidově muzikálu Sliby chyby, Walsinghama v Boltově Ať žije královna!, či Meekera v Nashově dramatu Pozor, jaguár!
V devadesátých letech René Přibil také často hostoval: v Západočeském divadle v Chebu v inscenacích her V + W Kat a blázen, Nebe na zemi a Slaměný klobouk, v Mladé Boleslavi opět v roli Hamilkara v inscenaci Pan Hamilkar, ve Středočeském divadle Kladno v roli Prokopa v muzikálu Šakalí léta a konečně na otáčivém hledišti v Českém Krumlově jako Richelieu v Dumasových Třech mušketýrech.
Hojně také hrál ve filmu - např. Jáchyme, hoď ho do stroje, Zlatý Budha, Radikální řez, Sázka na třináctku, Kdo se bojí, utíká, Kolja či Prachy, prachy, prachy.
Reného Přibila jsme mohli také vidět v seriálech Rodinná pouta, Dobrodružství kriminalistiky, Bazén či v Četnických humoreskách. Spolupracoval také s plzeňským rozhlasem.